等積変換を応用して、複雑な土地の境界線を一本の直線にする問題です。複雑に見える問題ですが丁寧に解説します。下に英語版もあります。
Finding Land Boundaries with Equal-Area Transformation
等積変形（等積変換）を使った土地の境界線の求め方
問題 直線PQと曲線PAQで囲まれた土地があります。現在、この土地は、折れ線ABCDできちんと二等分されています。点Aから直線PQに引いた一本の直線で土地を二等分する方法を示しなさい。
解答の方針 台形を元にした、三角形の面積の等積変換を二回使います。
手順１ 線分BDに平行な線分CEを書きます。点Eは直線PQ上にあります。
ここで等積変換を使います。底辺をBDとすると、三角形BCDと三角形BEDの高さは同じですので、
三角形BCDの面積 ＝ 三角形BEDの面積
となります。ここで二つの三角形を見比べますと、お馴染みのちょうちょの形が見えますね。これで、渡した土地ともらった土地の面積が同じで、折れ線ABCDが折れ線ABEになりました。（角がひとつ減った！）おおー、なんか解けそうだぞ。
手順２ 同様に、線分AEに平行な線分BFを書きます。点Fも直線PQ上にあります。
ここでまたまた等積変換の出番です。今度は、底辺をAEとすると、三角形ABEと三角形AFEの高さは同じですので、
三角形ABEの面積 ＝ 三角形AFEの面積
となります。ここで二つの三角形を見比べますと、また、ちょうちょの形が見えます。安心して変換できますね。この変換により、折れ線ABEは線分AF（一本の直線）になりました。
相手に渡した土地の面積と自分がもらった土地の面積が二回とも同じ（プラスマイナスゼロ）ですので、きちんと二等分されましたね。
中学校の数学で習う等積変換は、いろいろなところで使われています。(^^)/
自分でちょうちょの形を書いて色を塗るとよくわかります。同じ面積を渡して、こちらもいただくので、変換の度に面積が変わることはありませんね。私が小学校のとき田んぼや畑の区画整理で、戦前の変な形の田んぼや畑を直線で区切る圃場（ほじょう）整備が行われました。旧式のトランシットと巻き尺と杭を持ったおじさんがせわしなく測量をしておりました。懐かしいです。間違えると後で揉めますね。
ここまで記事を読んでくださりありがとうございます。
ここからは、英文で同じような解説が書いてありますので、英語と数学の勉強にもお使いください。
Finding Land Boundaries with Equal-Area Transformation
This is a practical geometry problem from junior high school mathematics in Japan, where we use “equal-area transformation” to turn a complex, zigzagging land boundary into a single straight line without changing the total area of the land.
The Problem
There is a piece of land enclosed by the straight line PQ and the curved line PAQ. Currently, this land is divided exactly in half by the zigzag boundary line A-B-C-D. Show how to draw a single straight line from point A to the line PQ that still divides the land exactly in half.
The Strategy
We will apply “equal-area transformation” twice, using a technique based on trapezoids and triangles with a shared base.
Step 1: Move Point C to Point E (BD // CE)
First, draw a line segment CE that is parallel to the segment BD, making sure point E lies on the line PQ.
By using equal-area transformation here, if we consider segment BD as the shared base, the triangles △ BCD and △ BED have the exact same height because the lines are parallel. Therefore:
When you compare these two triangles, you will notice a familiar “butterfly shape” where they intersect. By trading these equal areas (giving away one side and taking the exact same amount on the other), the total area remains perfectly unchanged!
Now, our zigzag boundary A-B-C-D has transformed into a slightly simpler zigzag line, A-B-E. (We successfully removed one corner!)
Step 2: Move Point B to Point F (AE // BF)
Next, do the exact same thing. Draw a line segment BF that is parallel to the segment AE, with point F lying on the line PQ.
Once again, it’s time for equal-area transformation. This time, using segment AE as the shared base, the triangles △ ABE and △ AFE have the same height. Therefore:
Looking at the diagram, you will see another “butterfly shape.” Since the area we gave away and the area we received are identical (net zero change), we can make this transformation with complete confidence.
Thanks to this second step, the zigzag line A-B-E has finally become a single, perfectly straight line segment, A-F.
Since the net area change was exactly zero in both steps, the land remains perfectly divided into two equal halves!
💡 Connecting Math to the Real World
Equal-area transformations taught in junior high school are used in many real-world applications.
When I was in elementary school, our local area underwent “farmland consolidation” (Hojo-Seibi) to reorganize old, irregularly shaped pre-war fields into clean, modern rectangles. I still fondly remember watching the land surveyors busily working out in the fields with their vintage transits, measuring tapes, and wooden stakes.
It was a nostalgic sight, but a very serious job—because if your mathematical calculations are off by even a little bit, it will cause huge arguments among neighbors later! It is wonderful to realize that the math we learn in school is actually a powerful, real-world tool used to protect people’s livelihoods and maintain peace in our communities.
Thank you so much for reading this to the end. I hope this story makes you smile the next time you open your math textbook! ^^) _旦~~